Probabilidad

1.-INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD

2.-PROBABILIDAD DE EVENTOS COMPUESTOS

3.-PROBABILIDAD CONDICIONADA

4.-USO DE DIAGRAMAS

5.-DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD VAR. DISCRETA

6.-DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

7.-DISTRIBUCIÓN NORMAL

8.-USO DE TABLAS EN LA DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTANDARIZADA.

 


 

1.- INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD

La ciencia siempre ha sido el resultado de la investigación de acuerdo a la necesidad del hombre. Las probabilidades no ha sido ajena a ésta necesidad. Es así que, a raíz de las preguntas del Caballero de Méré (jugador empedernido) sobre la distribución equitativa de las apuestas en el juego de azar, Pascal y Fermat intercambiaron ideas para resolver éste dilema.
Sin embargo, para entender la teoría de las probabilidades es necesario tener conceptos básicos como: espacio muestral, evento, evento seguro, evento imposible o nulo, complemento de un evento.
Antes de entrar a las definiciones es necesario conocer y entender algunos términos:

Experimento.- es una circunstancia , un proceso que se puede repetir, por ejemplo saltar en un pie.
Resultados.- todos los posibles valores cuantificados del experimento, por ejemplo la cantidad de  saltos en un minuto.
Espacio muestral.- es el conjunto de todos los resultados posibles del experimento.
También debemos hacer notar que sólo haremos mención a los experimentos igualmente probables, ya que en forma intuitiva podríamos pensar que sucede cuando se lanza un dado “cargado”, es decir que una cara tenga “mayor superficie” o que en términos de densidad haya un “desequilibrio”.

Definición de Evento:


Para un espacio muestral     , se define un Evento, a cualquier subconjunto del espacio muestral  

Ejemplo:
Si un experimento consiste en lanzar una vez  un dado de seis caras, determinar todos los resultados posibles (espacio muestral) que encontraremos y halle un evento.

Solución:
Al lanzar un dado, encontraremos seis valores posibles, ya que por más que lancemos el dado n veces los resultados posibles serán los mismos.   ={ 1 , 2 , 3 , 4 , 5  y  6 }.
También podemos distinguir “dentro” de éste experimento varios eventos, del cual podemos escoger el evento A= “resultados de valor par”, entonces el evento estará formado por:  A={ 2 , 4  y  6 }.

Definición de Probabilidad:
Podemos decir que la probabilidad mide la mayor o menor posibilidad de que se dé un determinado resultado cuando se realiza un experimento aleatorio.
Para cuantificar una probabilidad  P(A) , nos basamos en que  es el espacio muestral y A un evento cualquiera; entonces podemos decir que la probabilidad de A es: 

Observamos que el # de elementos de A está entre “0” y el # de elementos de  por lo cual:


Es decir que mientras la probabilidad se acerca más a 1, es más probable que suceda y por el contrario, cuanto más se acerque a 0, será menos probable que suceda. Por ello podemos decir que la probabilidad de un evento seguro es P(A)=1 y la probabilidad de un evento nulo o imposible P(A)=0.

Ejemplo:
Si un experimento consiste en lanzar dos veces una moneda, determinar la probabilidad “que obtenga dos caras”.

Solución:
Al lanzar una moneda dos veces, encontraremos cuatro resultados posibles, ya que en un1er lanzamiento puede salir cara C o sello S , suponiendo que sale C , en el 2do lanzamiento también puede salir C o S , por lo tanto el espacio muestral está conformado por :  ={ CC , CS , SC , SS }.

Ahora distinguimos que el número de elementos del espacio muestral es 4 y el número de elementos  del evento “que obtenga dos caras” es 1.
                                               Entonces : 

 

Probabilidad del complemento de un Evento:
El complemento de un evento A ( de acuerdo a la teoría de conjuntos) es el conjunto de resultados que no están en A. Representamos al complemento de un evento A como , por ello también es posible determinar su probabilidad.
Entonces : sea   el espacio muestral de un experimento y se A un evento cualquiera, se define la probabilidad del complemento como:
 

Ejemplo:
Si un experimento consiste en lanzar dos veces una moneda, determinar la probabilidad “que no se obtenga dos sellos”.

Solución
Al lanzar una moneda dos veces tal como se vió en el ejemplo anterior el espacio muestral está conformado por :  ={ CC , CS , SC , SS }.
Si analizamos el evento nos dice: “que no se obtenga dos sellos” y esto es equivalente a decir el complemento de “obtener dos sellos”, por lo cual reconocemos a la probabilidad del complemento.
Entonces sea B el evento “ obtener dos sellos”  , entonces  reconocemos que nos pregunta acerca del complemento de B , por lo tanto

Entonces la probabilidad de que “no se obtenga dos ellos” es    3/4.

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2.- PROBABILIDAD de EVENTOS COMPUESTOS

Cuando el experimento en un espacio muestral considere dos eventos al mismo tiempo, entonces estaremos ante el caso de la probabilidad de eventos compuestos. Sin embargo éstos eventos pueden tener relación o no entre ellos , lo cual nos lleva a separar la probabilidad de eventos mutuamente excluyentes de la probabilidad de eventos que no son mutuamente excluyentes.

Probabilidad de Eventos mutuamente excluyentes:

Se entiende  que dos eventos son mutuamente excluyentes cuando éstos (eventos) no tienen resultados en común. Por lo cual si queremos determinar la probabilidad de la unión de dos eventos mutuamente excluyentes diremos que:
Si A y B son eventos mutuamente excluyentes en un espacio muestral   , la probabilidad de  


Ejemplo:
Si un experimento consiste en sacar una carta de una baraja y sean los eventos:
A: La carta es un As.
B: La carta es un Rey
Determinar la probabilidad de : 

Solución:
Sabemos que una baraja tiene 52 cartas (sin los Jockers) y corresponden a 13 cartas de cuatro “palos”: corazones, espadas, cocos y trébol. Por lo cual es imposible encontrar una carta que sea As y Rey al mismo tiempo, ésta deducción nos permite afirmar que se trata de dos eventos mutuamente excluyentes.
Por lo tanto:   

 

Probabilidad de Eventos que No son mutuamente excluyentes:

Se entiende  que dos eventos no son mutuamente excluyentes cuando éstos (eventos) si tienen resultados en común, es decir existe una intersección entre ellos. Por lo cual si queremos determinar la probabilidad de la unión de dos eventos que no son mutuamente excluyentes diremos que:
Si A y B son eventos mutuamente excluyentes en un espacio muestral   , la probabilidad de  


Ejemplo:
Si un experimento consiste en sacar una carta de un mazo normal (baraja) de 52 cartas y sean los eventos:
A: La carta es una figura.
B: La carta es un trébol
Determinar la probabilidad de : 

Solución:
Para solucionar debemos verificar si existe relación (intersección) entre los eventos, entonces nos preguntamos.¿Es posible sacar una carta que se al mimo tiempo figura y trébol?, claro que sí, es más reconocemos que hay tres cartas ( 11 , 12 y 13 ). Esta deducción nos permite afirmar que se trata de dos eventos que no son mutuamente excluyentes.
Por lo tanto: 

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3.- PROBABILIDAD  CONDICIONADA

Cuando analizamos más experiencias de eventos aleatorios , no sólo nos vamos a encontrar con eventos compuestos; sino también con una relación entre ellos. Por ejemplo si tenemos que escoger un ejecutivo de un grupo compuesto por damas y varones mayores y menores de 25 años, y nos preguntamos ¿Cuál es la probabilidad de escoger una dama , si ésta es menor de 25 años?. Es decir , no solo escogemos por género, sino también generamos la condición que sea menor de 25 años. Esta probabilidad la resolveremos con la probabilidad condicionada.

Probabilidad condicionada:

Se entiende  que dado dos eventos , la probabilidad del segundo suceso está condicionado al resultado del primer suceso. Por lo cual si queremos determinar la probabilidad del 2do eventos respecto de la ocurrencia del 1ero diremos que:
Si A y B son dos eventos del espacio muestral   , la probabilidad condicionada de B respecto a A estará dad por:


 

Ejemplo:
Si un experimento consiste en lanzar un dado y sean los eventos:
A: El resultado es un número par.
B: El resultado es el número 2
Determinar la probabilidad salga el 2 , sabiendo que la cifra es par : 

Solución:
El término “sabiendo que” identifica la condición de la probabilidad, por lo tanto , debemos buscar la probabilidad de la intersección y la probabilidad de A
Por lo tanto: 

 

Probabilidad de Eventos Independientes:

Cuando la ocurrencia de un evento no afecta la probabilidad del otro, se dice que éstos son dos eventos independientes. Por lo cual si queremos determinar la probabilidad de la intersección de dos eventos independientes diremos que:
Si A y B son dos eventos independientes en un espacio muestral   , la probabilidad de  


Ejemplo:
Si en un frasco tenemos 5 bolas azules y 4 bolas amarillas, al sacar una bola al azar y luego regresarla  (con reposición) al frasco y sacamos otra bola. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas bolas sean azules?.

Solución:
Si retiramos la 1era bola, la probabilidad que sea azul es 5/9, luego si reponemos la bola al frasco y volvemos a retirar otra bola observamos que todo el proceso se vuelve a repetir por ello la probabilidad de la 2da bola también es 5/9.
Por lo tanto: 

 

Probabilidad de Eventos dependientes:

Cuando la ocurrencia de un evento afecta la probabilidad del otro, se dice que éstos dos eventos son dependientes. Por lo cual si queremos determinar la probabilidad de la intersección de dos eventos independientes diremos que:
Si A y B son dos eventos dependientes en un espacio muestral   , la probabilidad de  


Ejemplo:
Si en un frasco tenemos 5 bolas azules y 4 bolas amarillas, al sacar una bola al azar y luego sacamos otra bola sin reponer la 1era bola. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas bolas sean azules?.

Solución:
Si retiramos la 1era bola, la probabilidad que sea azul es 5/9, luego no reponemos la bola al frasco , en el frasco sólo quedarán 8 bolas y de las cuales 4 son azules, entonces al repetir el proceso la probabilidad de la 2da bola se azul será 4/8.
Por lo tanto: 

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4.- USO DE DIAGRAMAS

Hemos observado que el cálculo de las probabilidades en resumen se convierte en un problema de “conteo”, es decir, el espacio muestral no es otra cosa que el número de todos los casos posibles que determinan la experiencia, para un suceso o evento cualquiera , bastará delimitar las características de la misma para realizar también un conteo y luego obtendremos la probabilidad a través del cociente.

Sin embargo no siempre tendremos eventos cuyos conteos sean directos, es decir se hace necesario “ordenar o preparar” la información recibida, de la cual tomaremos lo que se necesita.
Las tablas de doble entrada, los diagramas del árbol o los diagramas de Venn , serán muy útiles para ordenar la información preliminar.

Tablas de doble entrada:

Cuando el espacio muestral tiene dos o más subconjuntos, es decir se pueden tomar dos o más eventos y cada uno de ellos tiene dos o más características , entonces es necesario recurrir a las tablas de doble entrada.
El presente caso lo veremos a través de un ejemplo:

Ejemplo:
Para ocupar el puesto de profesor de un colegio se han presentado 90 postulantes. Si 30 son titulados con experiencia previa , 15 sin titulo y sin ninguna experiencia y además se sabe que 65 vienen con experiencia previa. ¿Cuál es la probabilidad de que el docente seleccionado tenga titulo si se sabe que tiene experiencia previa?

Solución:
Reconocemos que la información de la muestra tiene dos eventos: profesores con y sin experiencia y al mismo tiempo tiene o no tiene titulo, entonces será necesario un cuadro de doble entrada.
Por lo tanto:  colocaremos los datos y luego complementamos el cuadro.

Experiencia

Con Titulo

Sin Titulo

Parcial

Con experiencia

30

35

65

Sin experiencia

5

20

25

Total

35

55

90

Por otro lado analizamos la pregunta  ¿Cuál es la probabilidad de que el docente seleccionado tenga titulo si se sabe que tiene experiencia previa?. Observamos que tenemos una probabilidad condicional
 , donde A : docente con titulo y B : docente con experiencia . La probabilidad de la intersección será : 30/90 y la probabilidad de A será : 65/90, entonces:

 

Diagramas de árbol:

Cuando la ocurrencia de varios eventos se da sobre el mismo objeto , para “visualizar mejor el proceso de desarrollo” será mejor emplear diagramas de árbol. Observemos que éste tipo de situaciones se dan cuando existe dependencia por lo cual un resultado depende del anterior , visto de otra manera, podemos encontrar varios caminos para “detectar” la ocurrencia del evento solicitado.

 Planteamos un ejercicio para visualizar el uso del diagrama de árbol.
Ejemplo:
En un recipiente hay 10 bolas rojas y 5 bolas amarillas. Se extraen dos bolas, una después de la otra, sin reposición ¿Cuál es la probabilidad de extraer una bola roja y una bola amarilla y ése orden?

Solución:
Si bien éste tipo de problemas ya lo resolvimos como probabilidad de eventos dependientes, es éste caso haremos uso del diagrama del árbol para “visualizar” el desarrollo del suceso.
Si nos remitimos estrictamente a lo que ocurre tendremos el siguiente desarrollo: Si retiramos la 1era bola del recipiente solo hay dos opciones saldrá roja o amarilla, es decir tendremos dos casos una cuando sale roja y otra cuando sale amarilla. Al retirar la 2eda bola ( no olvidemos que no se ha repuesto entonces ahora hay solo 14 bolas en total ) , también es posible que salga roja o amarilla; sin embargo, dependiendo que ha salido en el 1er retiro habrá menos bolas de dicho color.
Todo ello podemos “esquematizarlo” a través de un diagrama denominado “árbol”, esto es representativo ya que a partir del tronco principal salen caminos diferentes (ramas del árbol).
Por lo tanto: 

      

 

Se observa que el “recorrido rojo” tiene la 1era bola roja y la 2da amarilla , por lo tanto su probabilidad está dado por: 

 

Diagramas de Venn:
Es posible que la información de dos o más eventos tenga como datos el valor de la probabilidad de alguno de ellos o combinación de ellos, entonces para “ordenar los datos” es conveniente usar los diagramas de la teoría de conjuntos para resolver dichos ejercicios.
Veamos un ejemplos:

Ejemplo:
Si tenemos dos sucesos compuestos de A y B. Si P(A)=0.5 y P(B)=0.7 . Determine
Solución:
Si sumamos P(A)+P(B)=1.2>1.0, esto no puede ser, entonces existe una intersección , que se puede observar en un diagrama de Venn, por lo tanto: 



, entonces: 1=0.50+0.7- ; 

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5.- DISTRIBUCIÓN de PROBABILIDAD en una VARIABLE  ALEATORIA  DISCRETA

Recordemos que en estadística lo primero que identificamos fue a la variable (sujeto del cual necesitábamos sus características), mencionamos que ésta podía ser discreta o continua, es decir de un modo concreto números enteros para la variable discreta y números decimales para la variable continua.
Ahora sucede algo similar sólo que ya no hablamos de la muestra de una población, sino  de la distribución de probabilidades para una variable discreta o variable continua

Distribución de probabilidad:

Para una variable aleatoria  la función de distribución de probabilidades F(x) asigna a un evento definido sobre x una probabilidad tal que : 


Imagen:DisNormal01.svg
Una función de distribución F(x) cumple las siguientes condiciones:


            1)  y 


            2) Es una función continua

La función de distribución es la acumulada de la función densidad de probabilidad f(x), calculando directamente para una variable discreta y una variable continua.

 

Distribuciones de variable discreta:

Distribución binomial.Se denomina distribución de variable discreta a aquella función de probabilidad que sólo toma valores positivos en un conjunto de valores finito X  . Por tanto la distribución de probabilidades es la sumatoria de la función , por tanto:

 

Esta expresión representa la suma de todas la probabilidades desde  hasta  x.

 

Valor esperado de datos discretos: E(x)

Cuando se juega en eventos al azar , algunas veces se gana y otras se pierde ( es parte del juego ): Si se juega muchas veces al juego de la ruleta , podríamos llegar a estimar cuanto podríamos ganar o perder teniendo en cuenta que cada lanzamiento tiene una probabilidad y también un beneficio (ganancia) .
Es por ello que se puede definir el Valor esperado para:

Un juego entrega ganancias de:  , cada una con probabilidades de : .

El valor esperado ( o esperanza) E del juego es:

 

Ejemplo:
Si lanzamos un dado y se obtiene una ganancia de $1,0 por cada punto que aparece en la cara del dado. ¿Cuál es la esperanza de obtener una ganancia?.

Solución:
Reconocemos que el dado tiene seis caras y seis valores posibles, también reconocemos que la probabilidad de cada uno de ellos es 1/6 , ya que siempre será una cara (cualquiera) de un total de seis caras posibles.
Entonces el valor esperado será:

Lo que representa que, si se juega muchas veces a lanzar el dado con dichas ganancias parciales , uno ganará en promedio, $3.5 en cada juego.

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6.- DISTRIBUCIÓN   BINOMIAL

La distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta del número de éxitos en una secuencia de n experimentos independientes , cada uno de los cuales tiene probabilidad p de ocurrir.
Su función de distribución está dada por :

donde : 

Ejemplo:
Si lanzamos una moneda al aire 12 veces. Hallar la probabilidad de sacar 5 caras y 7 sellos.

Solución:
Si reconocemos que n=12  , r=5 y p=1/2  podemos decir que:

 

La Media en una Distribución  Binomial:

También reconocemos en la Distribución Binomial:

La media :     E(x) = np

Condiciones en un experimento Binomial:

1) El experimento consiste en una secuencia de n intentos, donde n se fija antes del experimento.
2) Los intentos son idénticos y cada uno de ellos puede resultar en dos posibles resultados: éxito o fracaso.
3) Los intentos son independientes, por lo que el resultado de un intento no influye en otro intento.
4) La probabilidad de éxito permanece constante a lo largo de los intentos.

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7.- DISTRIBUCIÓN   NORMAL

La distribución Normal también llamada distribución de Gauss , es la distribución de probabilidad continua que aparece con más frecuencia en la teoría de probabilidades y está definida por la función :

 

Donde :   es la media y   es la desviación estándar.

Imagen:DisNormal01.svg

 

Propiedades de la distribución normal:

1) La función es simétrica en z=0  (simétrico con respecto al eje Y).
2) Tiene forma de campana, por lo que favorece su aplicación a muchos modelos.
3) Dada su simetría , el área bajo la curva a la izquierda de z=0 representa el 50% , es decir representa a P=0.50. De la misma manera a derecha de z=0 representa el 50%, P=0.50.
4) La distribución normal “estandarizada” cuando  =0=1 , permite trabajar con tablas, donde se recoge la probabilidad acumulada para cada punto de la curva de esta distribución.

 

Distribución  Normal estandarizada:

Una de las mayores ventajas para trabajar una distribución cualquiera es , que es posible “estandarizarla” para trabajarla como una distribución normal estandarizada con el soporte de las tablas de probabilidad acumulada.
Sabemos que distribución normal “estandarizada” sucede cuando:   =0=1, entonces debemos usar la “variable normal tipificada o estandarizada” : z

 

Donde :   es la media y   es la desviación estándar.

En esencia lo que se hace para trabajar con cualquier distribución es “trasladarla” al orígen (0,0) con  y luego “comprimirla” dividiéndola entre . A partir de allí las tablas ya tipificadas sera de gran utilidad.
( A continuación parte de las tablas de la distribución normal estandarizada).


8.- Uso de Tablas de la Distribución  Normal estandarizada


1) Si conocemos el valor de z , podemos hallar la probabilidad  p


 

2) Si conocemos la probabilidad p , podemos hallar el valor de  z

 


Ejemplo 1:
El sueldo medio de los empleados de una empresa se distribuye según una distribución normal , con una media de S/ 1200  y una desviación estándar de S/ 550 . Calcular el porcentaje de empleados con un sueldo inferior a S/ 1998.

Solución:
Reconocemos que se trata de una distribución normal, sin embargo ante de utilizar las tablas, debemos estandarizarla para llevarla a la variable tipificada: z.
Lo que nos están pidiendo hallar es : P(X<1998) , entonces para tipificarla debemos hallar z , y ésta será:  . Usaremos la 1era tabla , ya que conocemos z y queremos hallar p.
En la 1era tabla , observamos que en la parte superior izquierda dice z y en ésa 1era columna (de la izquierda) buscamos el valor de z con la parte entera y un decimal. Observamos que se encuentra en la penúltima fila. Luego buscamos en que “columna” se encuentra el “2do decimal” , es decir 0.05; y lo encontramos en la 7ma columna. Finalmente intersecamos la “penúltima fila con la 7ma columna” y encontraremos el valor de p=0.9265 .
Esto quiere decir que el 92.65% de los empleados tiene un sueldo inferior a  S/ 1998.

 

Ejemplo 2:
El sueldo medio de los empleados de una empresa se distribuye según una distribución normal , con una media de S/ 1200  y una desviación estándar de S/ 550 . Si el 55.2% de empleados tiene un sueldo inferior a “X soles”, determine el valor de X.

Solución:
Reconocemos que  el valor de 55.2% representa el valor de la probabilidad “p”  , por lo tanto conocemos p= 0.552 y necesitamos hallar z
Lo que nos están pidiendo hallar es : P(X<valor) , la distribución normal tipificada será:   . Usaremos la 2da tabla , ya que conocemos p y queremos hallar z.
En la 2da tabla , observamos que en la parte superior izquierda dice p y en ésa 1era columna (de la izquierda) buscamos el valor de p con dos decimales (0.55). Observamos que se encuentra en la 7ma fila. Luego buscamos en que “columna” se encuentra el “3er decimal” , es decir 0.002; y lo encontramos en la 4ta columna. Finalmente intersecamos la “7ma fila con la 4ta columna” y encontraremos el valor de z=0.1307 . Sin embargo el valor de z es:  , luego despejamos el valor de X, el cual será: X=1271.88.

Esto quiere decir que el 55.2% de los empleados tiene un sueldo inferior a  S/ 1271.88

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