Vectores

1.-INTRODUCCIÓN A LOS VECTORES

2.-PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES

3.-REPRESENTACIÓN VECTORIAL DE UNA RECTA

4.-INTERSECCIÓN DE DOS RECTAS

 

 

 

 

 


 

1.- INTRODUCCIÓN A LOS VECTORES

Introducción:

Todos los objetos son cuantificables y normalmente las unidades acompañan a su magnitud; así por ejemplo podemos tener: una longitud de 5metros o una masa de 4 kilogramos. Observemos que la condición de éstos elementos es, que no tiene movimiento. Por lo cual si tomamos una masa de 3kg en nuestra mano y lo lanzamos tan lejos como podamos descubriremos que ésa magnitud tiene ahora una velocidad y una dirección específica. A éstas “cantidades dirigidas” se les puede representar matemáticamente hablando como “vectores”.

Definición:

Un vector en el plano o en el espacio es un segmento de recta con una orientación específica, es decir con dirección y sentido. El vector se describe como:    , donde A es el punto inicial y B es el punto terminal.
Se denomina magnitud o longitud de vector a la longitud del segmento y se representa como      ||     

Representación de un vector:

Un vector se puede representar de tres formas: a) En forma cartesiana, b) En base canónica y c) Como vector columna.


a) La forma cartesiana es la más conocida, ya que las componentes en dos o tres de la expresión cartesiana (x, y, z) corresponden a su magnitud y dirección. EjemploA=(2,3,4).
b) En la forma canónica las componentes están referidos a los vectores unitarios i , j , k..
Ejemplo: B= 2i+3 j-5 k.
c) Como vector columna, cada una de las componentes es representada en forma vertical.
Ejemplo:  .


Representación analítica y geométrica de un vector:

a) Para determinar analíticamente un vector se requiere las coordenadas del punto inicial y del punto final (sea en un plano o en el espacio).
Si tenemos un vector en plano :  cuyo punto inicial es  y un punto final en   entonces el vector v será expresado como:   
b) Geométricamente un vector se representa como una “flecha” que tiene una dirección y sentido , siempre partiendo del punto inicial y terminando en el punto final.

 

 

Magnitud de un vector:

La magnitud de un vector     está dado por :  

Operaciones con vectores:

Sean los vectores    y    , entonces podemos realizar las siguientes operaciones:


 para todo

Propiedades de los vectores:

Para la suma vectorial y multiplicación por un escalar tenemos las siguientes propiedades:

Suma vectorial

Multiplicación por un escalar

u+v = v+u

c(u+v)=cu+cv

u+(v+w)=(u+v)+w

(c+d)u=cu+du

u+0=0

(cd)u=c(du)=d(cu)

u+(-u)=0

1u=u

Longitud de un vector

0u=0

|cu|=|c||u|

cu=0

Para todo c y d

Descomposición horizontal y vertical de un vector:

Sea A un vector de magnitud  |A| y dirección . Podemos representar el vector como:
  donde:    y   .

Ejemplo:
Un vector w tiene una longitud 10 y una dirección 60° respecto la horizontal. Determine las componentes horizontal y vertical , y exprese w en términos de i  y  j.
Solución:
Como w se puede representar como w=(a,b) , siendo a y b las componentes horizontal y vertical respectivamente, entonces:
a = 10cos(60°) = 10(1/2)=5
b = 10sen(60°) = 10


Vector Unitario:

Se denomina vector unitario a aquel vector cuyo módulo es la unidad.
Sea A un vector de magnitud  |A| . Podemos representar el vector unitario como:


 

Vector Posición:   

Sea A las coordenadas de un punto en el plano cartesiano y O las coordenadas del origen del plano cartesiano. El vector posición se determina restando las coordenadas del punto Terminal (A) menos las coordenadas del origen.


Ejemplo:
Si  A=( 2 , 3) , hallar el vector posición.
Solución:
Entonces :  

arriba

 

2.- PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES

Definición:

Dados dos vectores no nulos del plano, se llama producto escalar al número obtenido como producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman:

 

   y 

 

También se le denomina como producto punto o producto interior.

Vectores Perpendiculares:

De acuerdo a sus características , dos vectores no nulos en el plano o en el espacio, pueden ser perpendiculares, sí y sólo sí: 

 

Vectores Paralelos:

Dos vectores no nulos en el plano o en el espacio, son paralelos, sí y sólo sí: 

 

Proyección de un vector:

Sean dos vectores :  A  y  B , y  x el ángulo formado entre ellos.
Sabemos que:    , ahora si observamos el gráfico , notaremos que |A|cosx corresponde a la proyección del vector A , sobre el vector B . Por lo cual podemos :

 


 

 

 

 

Si reordenamos :  

Tenenmos:   , Se lee : Proyección de A sobre B

 

Ángulo formado por dos vectores:

Sean dos vectores :  A  y  B , y  x el ángulo formado entre ellos.
Sabemos que:    , ahora si despejamos la razón  cosx  podemos determinar el ángulo formado entre los dos vectores:
 despejamos  cosx     ,


                        entonces:  , x : ángulo entre los vectores A y B

arriba

 

3.- REPRESENTACIÓN VECTORIAL DE UNA RECTA

Introducción

Recordemos que la representación algebraica de la ecuación de la recta ( llamada también función lineal ) en su forma canónica era:  y = mx + b , donde m representa la pendiente y b el punto de intersección de la recta con el eje Y .
De la misma manera , es posible representar a la recta ; pero en su forma vectorial , es decir , tener una expresión de ubicación espacial representada por una suma vectorial.

La Recta en su forma Vectorial:

Si representamos a “r” como un vector posición para un tiempo específico “t” , siendo “a” un vector posición y “b” el vector dirección o vector velocidad de una partícula, podemos representar la ecuación vectorial de una recta como :


                           Donde:          , posición final
                                                , vector posición
                                               , valor escalar
                                                , vector velocidad y |b| = módulo de la velocidad

Entonces podemos representarla como :    =  +
Al mismo tiempo igualando , podemos hallar las siguientes ecuaciones.
Entonces:      , las cuales se denominan : ecuaciones paramétricas.

 

Ejemplo 1:
Determine la ecuación vectorial de la recta que pasa por las coordenadas A(1,2,3) y B(5,4,3).

Solución:
Sabemos que la representación vectorial de una recta es :  , siendo a  un vector posición y b una dirección.
Siendo A y B , coordenadas por los cuales debe pasar la ecuación, podemos tomar cualquiera de ellas o una combinación de las mismas, por lo cual decidimos tomar  A(1,2,3) .
También debemos reconocer que el vector b , es un vector dirección, entonces podemos tomar la dirección AB, y si reconocemos que vectorialmente  , entonces:
, por lo cual la representación vectorial de la recta es:

 

Ejemplo 2:
Determine la ubicación de un globo aerostático luego de 2 horas de recorrido, sabiendo que parte de una ciudad “A”  y al cabo de un tiempo determinado se encuentra sobre una ciudad “B” a 1km en dirección NE y a una altitud de 750m con una velocidad de 20 km/hr.

Solución:
Del texto del problema debemos obtener las coordenadas necesarias para “ensamblar” la representación vectorial del recorrido del globo, y luego para un tiempo t= 2hrs determinaremos su nueva posición.
Si el globo parte de la ciudad “A” podemos considerar A(0,0,0) y la ciudad “B” tendrá por coordenadas  B(1000/ ; 1000/ ; 750), ya que la dirección NE , implica un ángulo de 45° y podemos realizar las proyecciones de 1000 m sobre los ejes X e Y y luego consideramos en z=750 ya que es la altitud sobre B.
Ahora, necesitamos hallar el vector unitario en la dirección AB para luego multiplicarla por el módulo de la velocidad y así obtener el vector velocidad:
Sea |B|= 1250m , entonces  
Entonces el vector veloc.  y
Ahora debemos descontar el tiempo empleado entre el inicio hasta la posición “B”:
Velocidad = 20 km/hr , distancia recorrida  e= 1250m=1.25km, entonces t=0.0625Horas

Luego tenemos: km.

 

Ángulo formado por dos Rectas:

Sean dos rectas representados por los vectores :  A  y  B , y  x el ángulo formado entre ellos.
Sabemos que:    , ahora si despejamos la razón  cosx  podemos determinar el ángulo formado entre los dos vectores:
 despejamos  cosx     ,

                        entonces:  , x : ángulo entre las rectas A y B

arriba

 

4.- INTERSECCIÓN ENTRE DOS RECTAS

Introducción

Para visualizar la intersección de dos rectas en el plano, bastará con realizar dos trazos y verificar si los dos se intersecan en alguna coordenada. También si tuviéramos las expresiones algebraicas usaríamos nuestros recursos de la teoría de ecuaciones para resolver el sistema y las coordenadas de intersección corresponden a la solución.
Sin embargo realizar la verificación visual de la intersección en tres dimensiones no es sencillo, por lo cual recurrimos a la representación vectorial de las rectas y a partir de allí verificar la posibilidad y cuantificar las coordenadas de intersección.

Intersección entre dos rectas:

Sea   la representación vectorial de cualquier recta tal que: para un tiempo específico “t” , siendo “a” un vector posición y “b” el vector dirección .

Entonces Sea A una recta representada por:   A=  +   y

 Sea B una recta representada por:   B=  +   , Entonces:

 A y B se intersecan en un punto  “C” , sí y sólo sí , existe un valor “t” igual para ambas rectas

.
Ejemplo 1:
Verifique si las dos rectas representadas por R y S se intersecan en algún punto y de ser posible determine las coordinas de intersección.

  y  


Solución:
Sabemos que para que exista intersección el valor de “t” debe ser único, por lo tanto, entendiéndose que ambas rectas van a tener un mismo valor, “podemos igualar  R=S” y verificar si existe un “t” único, de ser así , podremos afirmar que existe intersección, de lo contrario también podemos decir que no hay intersección:
Entonces:   =  , igualando tenemos:  , observamos que para cada igualdad se cumple que t=3, entonces si existe una intersección y sus coordenadas son:
 , la intersección se produce en: 

 

arriba